Возведение в степень и извлечение корня.

Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай n множителей. Используя метод математической индукции, легко получить чледующий результат: модуль произведения n комплексных чисел равен произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения. Отсюда, как их частный случай получается формула:
(r(cos+isin)ⁿ= rⁿ(cosn+isinn)
дающая правило возведения комплексного числа r(cos+isin в целую положительную степень.
При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Перейдем к извлечению корня данной степени из комплексного числа. Число z называется корнем степени n из числа w, если zⁿ=w.
Если w=0 то z=0, если же z не равно 0, следовательно и z, и w можно представить в тригонометрической форме:
z=r(cos+isin); w=p(cos+isin).
Уравнение zⁿ=w примет вид:
rⁿ(cosn+isinn)= p(cos+isin)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на k, где k-некоторое целое число. Следовательно:
rⁿ=p и n=+k.
или

Итак, все решения уравнения zⁿ=w могут быть записаны следующим образом:
Легко увидеть, что все числа z_k, получаемые при k=0,1,2,...,n-1, различны. Если брать значения k больше или равные n, то других комплексных чисел отличных от z₀,z₁,...,z_n-1, не получится.
Например при k=n получаем:

Таким образом, если w не равно 0, то существует ровно n корней степени n из числа w, все они получаются из формулы:

Из этой формулы видно, что все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль, но разные аргументы, отличающиеся друг от друга на k/n, где k - некоторое целое число.
Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из числа w, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса и цетром в точке z=0.
Cделаем еще одно важное замечание относительно обозначения . Обычно под понимается множество всех корней степени n из числа w. Например, под понимается множество, состоящее из двух чисел i и -i. Иногда под подразумевается, какой либо один корень степени n из числа w. В таких случаях обязательно указывать, о каком именно значении корня идет речь.